2 de junio de 2007
Q uince pesos por un sueño de 501 millones. "¿Qué probabilidades matemáticas hay de que usted o el grupo que entró a una vaquita compre un boleto y los gane?", me pregunta impaciente un locutor. "¿La lotería?", le respondo. "No, el Melate, ¡que tiene un premio de 413 millones de pesos!, ¡es una bolsa histórica! ¿Nos puede ayudar con lo de las probabilidades mañana?". Todavía sin saber exactamente de qué se trata, agrego: "Sí".
Esta conversación sucedió el jueves 24 de mayo; al colgar, pensé, "¿qué diablos es el Melate?". Les pregunté a algunos colegas pero, aunque mentes brillantes, no fueron de mucha ayuda. "Es una lotería en la cual puedes escoger tus números", me dijeron muy serios. Eso ya lo sabía yo, pero exactamente, ¿qué números y cuántos puedes escoger?
Ahora, 10 días después, casi todos sabemos qué es Melate: elegir una combinación de seis números diferentes entre el uno y el 51. Cada combinación tiene un precio de 15 pesos.
Así de simple. Las combinaciones pueden ser con los números de tu elección, o bien puedes dejar que una máquina las elija. Todos los miércoles y domingos por la noche, desde 1984, se realiza el sorteo. Un artefacto, que se dice perfectamente calibrado, saca siete esferas de forma aleatoria. Las seis primeras determinan a la combinación ganadora y la séptima determina el llamado número adicional. El primer premio lo obtiene la combinación de seis números que coincida con las seis esferas iniciales. Hay premios menores cuando coinciden menos de seis números de la combinación, incluyendo o no al número adicional.
El primer premio es el que nos concierne, pues si nadie posee la combinación ganadora, la bolsa se acumula para el siguiente sorteo. Desde su inicio, ha habido 2 mil 33 sorteos de Melate, pero en esta ocasión, desde el 7 de febrero del 2007 no ha habido un ganador y la bolsa acumulada para el sorteo del próximo domingo es de ¡501 millones de pesos!
Veamos algunas cifras: existen 18 millones 9 mil 460 combinaciones posibles de seis números entre el uno y el 51. El mecanismo que elige las esferas ganadoras asegura que cada una de estas combinaciones es equiprobable, por lo tanto, la probabilidad de que una combinación sea la ganadora es de 1/18 009 460 o aproximadamente una en 18 millones, o 0.0000000555. ¡Pequeñísima! Sería más probable que nos cayera un rayo.
Pensemos en un ejemplo sencillo: lanzar una moneda (perfectamente balanceada) al aire. Hay sólo dos posibles resultados, águila o sol, ambos equiprobables. De aquí que la probabilidad de obtener cualquiera de ellos es de 1/2 o bien 0.5. Esto significa que si lanzamos una moneda un gran número de veces (mucho más de dos), esperamos que cada cara aparezca aproximadamente en la mitad de los lanzamientos. En ocasiones, nos pueden salir varias águilas seguidas, o varios soles, o cualquier otro "patrón" aparente; sin embargo, en el largo plazo habrá aproximadamente la misma cantidad de águilas que de soles. Alguien puede elegir como estrategia escoger siempre águila o, alternativamente, sol, o elegir aleatoriamente entre una u otra; en fin, no habrá diferencia pues de todas formas, si jugamos muchos volados, ganaremos aproximadamente la mitad.
¡El Melate es esencialmente un volado con una moneda de 18 millones 9 mil 460 caras! O bien, una rueda de ruleta con 18 millones 9 mil 460 números. Repetir el Melate un gran número de veces significa jugarlo mucho más de 18 millones de veces, ¡lo cual es imposible! Al igual que en el volado, da exactamente lo mismo qué combinación de números escojamos, todas tienen la misma probabilidad de ganar en cada sorteo.
Para evitar compartir el premio, no debemos escoger las combinaciones comunes. Se ha visto que las personas tienden a escoger números como el siete y sus múltiplos con mayor frecuencia; asimismo, los números del uno al 31 aparecen con mayor frecuencia que los del 32 al 51 puesto que escoger fechas de cumpleaños es muy común. Algunas combinaciones como 1,2,3,4,5,6 o 2,4,6,8,10,12 son elegidas más que otras; así, si una de ellas ganara el premio sería compartido con un gran número de personas.
Supongamos que no tenemos restricción presupuestal y decidimos comprar todas las combinaciones posibles del Melate, es decir, 18 millones 9 mil 460. Cada una vale 15 pesos y esto costaría 15 x 18 009 460 > 270 141 900. En este caso, ganaríamos con seguridad puesto que tenemos todas las combinaciones posibles. Como el premio a la combinación ganadora es de 501 millones de pesos, obtendríamos una ganancia de aproximadamente 231 millones de pesos. No obstante, si alguien más compró la combinación ganadora el premio tiene que repartirse. Sin entrar en detalles, la probabilidad de que compartamos el premio es un poco más de 0.5, de manera que equivale más o menos a echar un volado.
El gran número de combinaciones de Melate propicia que haya rachas sin ganadores. Entre más boletos se vendan, más probable será que exista un ganador. Como el número de boletos vendidos aumenta al incrementarse la bolsa; tarde o temprano alguien ganará. Si no compramos ninguna combinación, es seguro que no ganaremos. Gastar 15 pesos en cualquier elección de seis números nos da una oportunidad, pequeñísima pero diferente de cero. Vale 15 pesos soñar con tener 501 millones.
*Doctora en Matemáticas y en Economía, Jefa del Departamento de Matemáticas del ITAM
